Teoría del consumidor

El problema del consumidor es maximizar la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria:

\max_{x_1, x_2} \; u(x_1, x_2) \quad \text{s.t.} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m

Las condiciones de primer orden (KKT) implican la igualdad entre la tasa marginal de sustitución y el cociente de precios:

\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{MU_1}{p_1} = \frac{MU_2}{p_2} = \lambda

Donde $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange, interpretado como la utilidad marginal del ingreso.

Teoría de la firma

La firma minimiza costos para producir $q$ unidades dado el vector de precios de insumos $(w, r)$ :

\min_{K, L} \; wL + rK \quad \text{s.t.} \quad f(K, L) \geq q

La condición de eficiencia técnica en la elección de insumos es:

\frac{PM_L}{w} = \frac{PM_K}{r} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{PM_L}{PM_K} = \frac{w}{r}

Equilibrio general y óptimo de Pareto

En una economía de intercambio puro con dos bienes y dos agentes, el equilibrio walrasiano es una asignación $(x^*, p^*)$ tal que los mercados se vacían. El Primer Teorema del Bienestar establece que todo equilibrio competitivo es un Óptimo de Pareto cuando los mercados son completos y no existen externalidades.

El Segundo Teorema del Bienestar garantiza que cualquier Óptimo de Pareto puede descentralizarse como un equilibrio competitivo con transferencias de suma alzada adecuadas.

Bienes públicos y fallos de mercado

Un bien público se caracteriza por la no-rivalidad (el consumo de un agente no reduce el disponible para otros) y la no-exclusión (no es posible excluir a nadie de su consumo). La regla de Samuelson para la provisión óptima del bien público establece:

\sum_{i=1}^{n} MRS_i^{xy} = MRT^{xy}

Es decir, la suma de las tasas marginales de sustitución entre el bien público $y$ y el bien privado $x$ debe igualarse a la tasa marginal de transformación en la producción.